電電高専生日記

3階定数係数線形微分方程式を解く

2015/04/24 22:22

最近は編入試験の勉強をしています。
色々な大学(といっても2,3校程度)の編入試験の過去問も解いたりしています。
さて、その編入試験の数学試験の中に、以下のような問題がありました。

問.以下の微分方程式の一般解を求めよ。
y'''-6y''+11y'-6y=exp(4x)

3階定数係数線形微分方程式です。階数が3で、係数が定数で、線形な微分方程式です。
授業で2階微分方程式まではやったんですが、3階の微分方程式は解いたことが無かったので少し面食らいました。
しかし、調べてみたらこれ、2階の定数係数線形微分方程式と同じように解けるんですね。
というわけで実際に解いてみました。このブログのいつものことで、答えが当たっているかは分かりません。

まず、斉次形微分方程式
y'''-6y''+11y'-6y=0
の一般解を求める。
特性方程式 λ^3-6λ^2+11λ-6=0 より、
(λ-1)(λ-2)(λ-3)=0
∴λ=1,2,3
したがって一般解は
y=C1exp(x)+C2exp(2x)+C3exp(3x) ... (1)
(C1,C2,C3:任意定数)

次に、非斉次形微分方程式
y'''-6y''+11y'-6y=exp(4x)
の1つの解を求める。
1つの解を y=Aexp(4x) と予想する。y'=4Aexp(4x), y''=16Aexp(4x), y'''=64Aexp(4x) となる。
したがって、
64Aexp(4x)-96Aexp(4x)+44Aexp(4x)-6Aexp(4x)=exp(4x)
6Aexp(4x)=exp(4x)
∴A=1/6
したがって1つの解は y=(1/6)exp(4x) ... (2)

(1)と(2)より、求める一般解は、
y=(1/6)exp(4x)+C1exp(x)+C2exp(2x)+C3exp(3x) //

合っていると思う。多分!

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