電電高専生日記

1/(x^2+a^2)の積分

2015/03/26 23:27

今更ながら積分の公式の証明です。
証明する公式は、
∫dx/(x^2+a^2) = (1/a)*(arctan(x/a))+C
です。

大学の編入試験の過去問を見てみたら、この公式、というかこの積分を途中で使う問題がありまして。
忘れた時にいつでも解いて算出できるようにしたいと思い、微積Iの教科書を覗いてみたら、右辺を微分して左辺になることを確かめる、という証明しかありませんでした。
その右辺を忘れていたときのために左辺から解いてみます。

∫dx/(x^2+a^2) ... ①
x = a*tan(t) ... ② とおく。
dx/dt = a/cos^2(t)
dx = a*dt/cos^2(t) ... ③
①に②と③を代入する。
∫dx/(x^2+a^2) = ∫dx/{(a^2)(tan^2(t)+1)} = ∫cos^2(t)/(a^2)dx} = ∫{cos^2(t)/(a^2)}*{a*dt/cos^2(t)} = (1/a)∫dt = t/a+C
t = arctan(x/a) なので、
t/a = (1/a)*(arctan(x/a))+C
したがって、
∫dx/(x^2+a^2) = (1/a)*(arctan(x/a))+C  //

これ2年生の時に習う内容なんですよね~。
x=a*tan(t)で置換するとか、調べて初めて知った。

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